海天考研数学名师解析2021考研数学真题(文字版)

2020/12/28 15:57:57 来源: 海天考研
分享:

  2021考研数学考试已经结束,海天考研第一时间整理发布真题原文及答案,海天考研数学名师为考生们分析考研数学考试特点,逐题答案解读分析,以及对22考研同学们的建议,下面就一起来看看老师的解读吧。

  魏老师:咱们今年的话,就是考研数据,上午已经刚刚结束了是吧,方老师。现在接下来就是想请各位老师也是看一下,点评一下就是咱们这个各科是吧,咱们的考研数学,今年的话,它着重的、突出的一些点在哪里,有什么特征?我们请这个方老师,咱们先说一下咱们关于高数这一块。

  海天考研数学名师解析2021考研数学真题:高数三大特点

  方老师:好,同学们,今天考试已经结束了,这个高等数学部分,总体来说,我觉得三个特点吧。第一个就是重点非常突出,重点知识重点考察,比如说我们后边的这个解答题,这个数一里边的曲线积分,还有拉格朗日乘数法求最值,还有极数求和。这都是重点中的重点。那么包括数学二,数学二呢,后边这个凸凹区间鉴定线,旋转体的体积弧长这都是重中之重。那么包括这个数学三,求这个多元函数的无条件极值,还有二次性积分,还有级数收敛域集合函数都特别地,都是重点,这是第一个,我觉得重点突出。

  那么第二个呢,就是比较重视基础。前面选择填空有一些比如说这个连续性,极值的判定还有这个泰勒展开,等价无穷小等等。所以我觉得这个还是体现了这个回归基础的这个特点。所以我觉得对于今年的这个同学,只要把基础打扎实了,那么前面的这个选择填空做起来应该还是比较有信心的。

  那么第三个特点就是计算量比较大,今年后边的几道解答题,虽然思路特别清楚,但整个来说还是比较重视计算的,所以我觉得主要就是这三个特点。

  魏老师:好,咱们今年高数属于重点突出,但是又重基础,计算量比较大。

  方老师:对。

  海天考研数学名师解析2021考研数学真题: 线代特点

  魏老师:那我们今年的话,看一看线代,线代这一块,咱们看一看,各位老师看一下,咱们有什么特点,我们请王立鹏老师,您看一下。

  姜老师:姜老师。

  魏老师:姜老师咱们看一下这个线性代数。

  姜老师:好,这个线性代数吧,今年来说,我觉得大家经过2019年和经过2020年的同学呢,基本上看了今年的线代就会比较幸福,尤其是数二数三的,数一的你说幸福吧,稍微有点过,数一的呢,他大体考虑到正定的这个分解,这个算是一个新颖题型,以往从来没有考过的新颖题型,数二、数三呢,很传统的相似对角化。那么小题来说,相对来说更中等偏基础,没有特别难的,小题他本来他也很难出太难的题对不对。所以说,线性代数整体来说,数二数三比较晚,数一有新颖的点。这是主要特点。

  魏老师:数一有新颖的点。那咱们概率这一块,好像今年的这个题目的话,可能灵活度更高一些是吧,咱们王老师,您看咱们这个概率这一块的题目,今年是怎么样?

  海天考研数学名师解析2021考研数学真题:概率特点

  王老师:今年概率总体地相对来说,灵活度更高一点,而知识考查面会更宽泛一点,比如说数一同学,他考了第二类错误的角,检验错误有概率的问题,这种题都是十年八年考一次的题。突然间今年就考了。

  魏老师:对对对。

  王老师:所以这个题让大家做起来,有一些同学就没有复习,提示大家以后复习的时候要做到全面性。有一些知识点,不能说人家不考,你就不看了,这是这样的一个问题。再有呢就是概率里面呢,它的这个填空题呢,它就是结合了一下这种古典概型,咱们有一些同学一做这种古典概型,他就有一些晕掉是吧,然后呢,这是古典概型,然后结合这种相关系数的一个考查。最后呢就是它的这个大题呢,它的大题呢就是讲的这个叫随机变量是吧,随机变量函数,以及它的一个期望。这是大体的还是比较规范的,就是他的一个想法的灵活度稍微地高了一点,这是今年概率的特点。

  魏老师:好,我们看今年可能这个概率上面确实是,线性代数上面刚才大家看可能是比较重视基础,概率上面可能灵活度稍微高一些。

  王老师:高一些。

  海天考研数学名师解析2021考研数学真题:逐题分析

  魏老师:接下来咱们看一下,我们逐题看一下,今年的咱们这个题型也是变化了,都是变化了。今年的话,大纲新改之后呢,咱们选择题,填空题和概率。现在选择题的话,咱们高等数学是四个,然后概率和线代各三个,今年一共十道题是不是?那方老师,咱们这边选择题,高等数学的选择题上面,今年是呈现的是一个什么趋势呢?

  方老师:我觉得选择题,还是刚才给大家说的,比较重视基础,比如说数学一,你看第一道题是极值可达语言续进,这是我们一元归分学里面非常基础的知识,那么第二道题呢是全微分的概念。

  魏老师:全微分。

  方老师:以前我们反复讲了,就是计算两个偏导。

  魏老师:对。

  方老师:那么第三个题就是泰勒展开,这也是非常非常基础的知识。第四个呢,这索性都没让我们计算定积分,就是定积分的定义。

  魏老师:对。

  方老师:什么是定积分,所以只要你了解定积分的定义,这个就能把它写出来,所以这是数学一的。那么数学二的,第一题也是一样,说是这个等价无穷小,或者说无穷小的比较,实际上就是一个泰勒展开,还是一个泰勒展开,而且特别有意思的数二第一题、第五题都是泰勒展开。所以相当于这个第一张它就已经出了两道选择题10分。

  魏老师:对对,也比较特别。

  方老师:很重视基础。那么第二道题呢,还是我们刚才说的这种连续性,可导。那么第三题呢,就是导数的一个基本的应用,很基础的就是变化率。

  魏老师:对,导数。

  方老师:导数它的几何概念呢,是切线斜率,那么物理概念它就是变化率。还有这个第四题呢,就是这个零点的个数,单调性再运用零点定理,也是比较基础的。那么第六题,刚才说了,就是全微分。第七题也是一样,刚才也给大家说了,考的含是定积分的定义,所以整个选择题来说,没有这个难度比较大,或者说计算量比较大的题,比较基础。那么数学三的呢,刚才讲的也是类似的,第一道题也是经过泰勒展开,研究无穷小。第二道题是连续可导,最大最小值。第三题也是这个零点定理单调性。第四题全微分。所以我觉得整个这个选择题,高等数学的选择题,大家做起来应该是比较高兴的,这个里面没有很难的题目,也没有这种大规模计算的,总体来说中规中矩,难度适中,大家做起来,应该是能比较得心应手。

  魏老师:好,那我们今年选择题,看来还是大家做起来,应该还是不错。比较乐观,在线代这一块,咱们姜老师看一下,咱们也是逐题看一下,各个题目有什么考点都在哪。

  姜老师:好,咱们也是从数一的开始吧。

  魏老师:好。

  姜老师:数一的第五题,我先说一下,这个题型的调整,题型的调整和咱们同事也说,本来大家都估计线性代数是两道选择题。

  魏老师:对对。

  姜老师:大题本来以为是15分是吧。

  魏老师:对对对。

  姜老师:结果大题12分是吧,大题12分。

  魏老师:很意外。

  姜老师:然后选择题到了一道。

  魏老师:多了一道。

  姜老师:填空题,确切来说就是一道题。所以说其实给二的同学,给二考研的是一个很好的谢谢。所以线代概率以后这种小题得多注意,得多注意了。

  魏老师:对对。

  姜老师:那么线性代数的数一的第五道题,正负关联指数,这是典型的他们的方法比较灵活,典型的拉格朗日配方法或者说就是咱们的正交变换法对不对,正交变换法就是特征值嘛,拉格朗日配方法也就是标准型对不对,这都可以,答案应该是选B。那么第六题呢,第六题这是咱们现在考研比较喜欢的一个趋势,就是他喜欢给一些向量,或者说给一些矩阵的乘积。咱说一个思想就是当大家见到一组向量的时候,或者见到一堆矩阵乘积的时候,应该想到什么呢?应该想到第二项的分块矩阵乘法对不对?

  魏老师:是。

  姜老师:这个最应该想到的就是分块矩阵乘法。那么这个分块矩阵乘法一写以后,系数矩阵一出来以后,题一题二自然就出来了对不对,就这种题,这个题的关键考点就是分块矩阵乘法,这也是考研的一个趋势,它为什么重要呢?是因为一分块以后,矩阵只能转化成向量组和方程组,甚至咱们的课程支撑的向量,那么向量只能转化成矩阵,那么这个理论就能串起来,就相当于一个枢纽对不对,所谓的咱们猎物工作是个任督二脉对不对,所以说分块矩阵乘法这是连接咱们第一章、第二章矩阵理论的和后面几章向量组理论的一个非常好的桥梁,所以这个考点是这几年很重视,非常适合考试的。那么第七道题呢,这是关于咱们质的问题,那么和咱们老师,前面也沟通,和方老师、王老师也沟通这个事,这是典型的历年真题的重要性,看到这个题这一刻就想到2018年的选择题,你看B选项是当时选择题的A选项,C选项是选择题的B选项对不对。

  魏老师:对对对。

  姜老师:这个题型不成立了,那我选C了,就是当年那个B了,就这个题,这是关于数一的。那么数二、数三的还有几道自己的题。好,看看数二的。数二的第八题和数一的第五题一样是吧。正负关联指数嘛,两大方法对不对。

  魏老师:对,这个第九题。

  姜老师:那么第九题,第九题明显就是向量组的线性表示,那不用多罗嗦,刚才也强调分块矩阵乘法对吧。

  魏老师:对。

  姜老师:写成分块矩阵乘法一转制就行了,这个题答案选D。第十题,第十题这个题看起来挺唬人的,就是容易叫数一的同学想到什么,各种分解,各种专业数学理论,一开始其实我们也从那个角度想过。

  魏老师:对。

  姜老师:但后来想想,大家不会考那么专业。

  魏老师:对,对角论,想到相对对角化就偏了。

  姜老师:对对对,本来想的是各种对称,包括正列矩阵的各种什么QR分解等等那些,那个不可能考那么专业的,所以被咱们老师又否定了,否定以后又想了想,其实就是一个初等变换对不对,就是把A进行初等行变换,包括数能列变换,这就转化成一个对角矩阵,甚至是可逆矩阵等等。那么的话,初等行变换相当于在左边乘初等矩阵,初等列变换相当在右边,最终乘完以后答案其实选C,当然选择题咱们一直说方法很灵活,选择题可以直接正向地来推导写这个正确的选项,你也可以逆向地排除对不对。你把AB端往里带嘛,你带完以后发现,乘出来明显不是嘛,对不对,那明显不能选它嘛,这个题答案方方面面地考虑,你怎么着也应该想到这个C,你哪怕就是一个一个乘,排除你也得做对不对。毕竟5分一道嘛。

  魏老师:对对。

  姜老师:好,这是数二、数三的,数三的还有一道新题。

  魏老师:对。

  姜老师:数三的,数三的第五题,这个就是典型的咱们数一的第五题。

  魏老师:对对,一样的。

  姜老师:也是咱们数二的第八题,完全一样的。

  魏老师:第六题是个新题。

  姜老师:对,第六题是数三自己的新题,这是明显抽象矩阵对吧,抽象的,系数矩阵是抽象的,也就是非齐次方程所在通解,那就是一个字就是凑,凑极数解析,凑特解,当然不是乱凑,按照解的定义和性质来严格地凑对不对?

  魏老师:嗯。

  姜老师:你会发现他们正交吧,正交就线性观,所以质就等于3,因为是四级的,所以极数解析里面只有一个,当然这四个选项里边也排除不了哪一个,因为都一个对吧。然后再看看哪一个用定义做。那肯定是正交的话,肯定是2—4可以了,这个题直接选2—4,答案选D就结束了对不对。这是数三的。那么第七个题,第七个题就和数二刚才的第十个题是一样的。

  魏老师:对对,都是老题了。

  姜老师:初等变换的题,或者说咱们逆向的,直接排除法来做也行对不对。

  魏老师:对。

  姜老师:这是咱们线性代数的题,整体来说还是咱们一开始那个话题,线性代数就数一还可以谈新颖度,其他数二、数三只能说传统。

  魏老师:基础。

  姜老师:传统,总之比较传统。

  魏老师:比较基础了,但是也是容易被一些题目里面带跑偏,也有是这种。好。咱们再看一下,咱们数一、数三的这个选择题这一块,咱们看王老师。

  方老师:概率统计的,王老师来说一下。

  王老师:选择题的这个第八题,数一和数三的题是一样的,咱们一起说了,这个题首先理解,人家找的是假命题,很多同学一看,好了,直接对了,好了,就不做了,那么这个题不要这么做是吧,实际上这种题呢,它首先是做什么?条件概率是吧。实际上这种题就是根据条件概率公式,你逐个去推导,你找到错误的就可以了。但这种题呢,在考试的时候,咱们通常用这种排除法是吧,排除法的话,直接举个反例,这个D选项就直接给它排除出去了,这个事就是第八题。第九题呢,数一和数三同学的题,它还是一样的,只不过就是咱们说了,数三同学呢,他不喜欢,没有这个无凭无据的概念,所以人家直接让你求期望,而数一同学问的你是不是无凭无据,也是让你求CD间的期望,你求出CD间的期望来,这个题还有一个特点是什么呢?就是两个样的明显,我们大家以前的题目,为什么今年的题有一点新颖呢?以前的题目,这个我们都是一个总体,今年出了两个总体,就是X、Y两个总体,所以我们要分别地去求就可以了,但它也没涉及到,真正把两个总体去做太多东西,我们就去求它的什么期望啊、方差啊这样一些内容,这个题就是这么一个特点。

  魏老师:二维总体。

  姜老师:我插一句,其实这个,你像这种二维总体的还算比较新颖的是吧,刚才王老师说的,从来没这么考过对吧。

  魏老师:对对,它的第十题也是。

  姜老师:所以今年接着再讲,今年概率的特点明显比高数和线代概率要新颖。

  王老师:新颖新颖。

  姜老师:就像咱们几位老师一开始谈的,今年比较新颖的就是不跟之前似的,线代比较新颖,反而概率比较新颖对不对。

  魏老师:对对。

  姜老师:那数二同学算的其实,数二人家不考这个,对。

  王老师:这个第十题呢,这个咱们刚才一开始就说,数一同学出了这个假设检验,犯第二类错误的概念。

  姜老师:又是很新颖。

  王老师:这个题是很新颖,而且就是说基本上十年了吧,大概十多年没考了,突然间一考,咱们很多同学就是有一个措手不及的感觉。

  魏老师:对。

  王老师:所以这个题很多同学是容易做错的。但实际上这个题呢,你说它新颖是很新颖,但是他出的是选择题,我们还是有简单的方法去做出来的对吧。实际上他就是用到一个X把(音15:31)的一个分布的问题,X把(音)服从单谬(音15:35)N分之sin(音15:35)方这样一个分布,你把它凑成标准状态,这个题答案只能选择2B,它没有别的可选性,你说它难吧,如果真的不会做,那就真的不难,但是你发现它本质的特点,也会相对来说比较简单。它有突破点。

  魏老师:对对对。

  王老师:数三同学的第十题,它这个题呢,实际上是我们以前的大题,就是我们讲的最大似然估计,但是今年因为他把一个概率的大题砍掉了,所以他变成了一个选择题,最大似然估计这种题就是离散型的最大似然估计,我们就是一个很中规中矩的方法,就能求出这个结果来,好,这是概率的题的特点。

  魏老师:是,我们也是,今年概率的这个题的话,数一的话,有两道考的确实是比较偏。

  王老师:偏。

  魏老师:比较少考、少见。但实际上是吧,咱们其实每一年也都会有这种偏的内容,都是有偏的内容。

  王老师:对对。

  姜老师:说的专业一点,就是新颖的,对吧,每年都会有新颖的题型的对不对。

  魏老师:对对,还是要抓住本质,大家复习还是要全面。

  姜老师:对对。

  魏老师:咱们后面的话,我们再看一下今年的这个填空,再看一下今年的填空题,今年的填空题,也是在高数上面,数学一的话,也是有个别题,像比如第十三题是吧,也是比较少考。咱们方老师您看,您对这个填空题今年是怎么看?

  方老师:好,这个高等数学部分呢,这个填空题,我觉得有个别的这种考点,大部分都是比较规矩的。

  魏老师:对对。

  方老师:数一的这个11题就是一个很简单的反常积分。

  姜老师:所以基础班的题。

  方老师,对,就是基础班的。

  魏老师:对,基础班的题。

  方老师:第二题这个参数方程求导也是基础班的题。

  姜老师:基础的,这也是基础班的。

  方老师:那么欧拉方程呢,大家可能觉得比较生疏,但实际上回忆一下,我们在冲击班、点睛班四套卷全部都讲了,讲了很多很多次。

  魏老师:对。

  方老师:包括强化班也讲了,所以这个很多东西觉得生疏呢,是因为考试考得不多,刚才这个也给大家讲了,现在就是要全覆盖,所以这个题,实际上我们也讲了。那么14题呢,这个曲面积分呢,直接考了一道填空题,而这是最最简单的曲面积分,补面都不需要,直接高斯公式就把它做出来了,所以数一的这几道题特别地规矩,我觉得就是规矩,而且也是概念非常地清晰,这个数学二呢,这个第一道题呢也是一样,这个非常简单的反常积分。12题呢是参数方程求导,13题呢就是直接一阶偏导,这是最最简单地用一阶偏导,导一步就出来了。那么14题呢,这个题在我们前面的四大卷呢,包括冲刺班里面也给大家讲过了,它是一个二重积分,你要对它进行换序,然后降成一重积分,那么一重积分要么把它算出来,要么对它求导,因为二重积分去求导,这是不现实的。

  魏老师:对。

  方老师:所以这是经过换序,把二重降一重,这个实际上我们四套卷里面几乎差不多就是原题。那么15题呢,是一个很简单的微方程的求解。所以说比较规矩。那么数学三,数学三的第11题,这也是基础班,这可以说真的是基础班,或者说是期末考试的这种直接求导数,非常非常简单。那么第二道题也是一样,这个反常积分,所以今年还比较重视反常积分,那么这个反常积分需要分段,按照积分来计算,13题就是旋转体的体积,最最简单的,14题呢,你看这个差分方程,一阶差分成。

  魏老师:一阶。

  方老师:而且还不需要有什么复杂的构造,就直接把其次、非其次加起来,所以我觉得这个填空题也是非常地规矩,OK。

  魏老师:是,咱们今年其实填空题嘛,刚才这个方老师也一直说是吧,也是很规矩,很规矩,有个别的比较偏的点,但是如果说你基础够扎实的话,都是没有问题的。咱们这个填空题,大家再看一下我们这个线代,线代的填空题的话,线代概率咱们也就各一道,姜老师您看看,咱们这个线代,它这个填空题的这个,就是这一道是吧,都是这一道。

  姜老师:就一道。

  魏老师:不是,咱们这个数一一道。

  姜老师:数一一道,对。

  魏老师:数一和这个。

  姜老师:各考一道,数一这一个吧,数一这一个,他给的是,表面上求的是所谓的代数余子式,其实想明白了第二章伴随矩阵的,伴随矩阵的元素,就是A的代数余子式,所以这个题其实也就研究伴随矩阵,那么给了一个每行元素和,这种题从基础班就其实,每行元素和就是A×11嘛对吧,然后两边同乘A星嘛,最终得到这个值呢,最终得到这个3/2嘛,所以这个题呢,实在地说,比咱们强化班讲的题都简单,因为咱强化班都已经讲到各列元素之和了是吧,也就各种转制的问题了,或者是做成的问题了。两大方法对吧,这个等21的,21的其实这个你不听也罢了。因为对你来说,你考的题根本还不需要这个方法来做,当时咱们说,如果说是各类元素和,可以求转制,也可以做成A,这个处理起来就更漂亮了。这道题本身考的,比咱们强化班讲的还是要简单,比强化讲得更简单。那么数二、数三的那个小题呢,他俩考的是一道题。

  魏老师:一道题。

  姜老师:数二数三是一道题。就是关于行列式的定义对吧。

  魏老师:对。

  姜老师:也是回到刚才方老师和王老师谈这个问题,今年考试整体来说,传统的题还比较多,当然新颖的题也有对不对,这是每年的特点,共同的特点。这个极其传统的,就是行列式的定义,这真是线性代数的,打开线性代数的第一章的第一节的第一个定义对不对,用行列式的定义,就按照这个定义来做就可以了。数二数三都考了行列式的定义,就这种题,所以说相对来说是非常传统的是吧,可以说是比较简单的。

  魏老师:对,所以咱们线代的这个填空题基本上都是传统的,基本上都是传统的,比较常规的问题。

  姜老师:整体传统。很常规。

  魏老师:我们来看看数一、数三的概率呢?概率这方面王老师。

  王老师:概率这个题,数一、数三考的题是一样的。

  魏老师:对,完全一样。

  王老师:他就考了一个这个古典概型,然后他又结合了一下这个。

  魏老师:相关系数。

  王老师:相关系数。以及二维的这种随机变量是吧,二维离散型的随机变量,然后我们只要求出这种联合分布率来,它是一个四个数的量是吧,四个数。

  姜老师:概率分布。

  王老师:概率分布对吧。联合概率分布。

  姜老师:对。

  王老师:你只要求出联合概率分布来,相关系数就按照定义去做就行了。

  姜老师:对。

  王老师:这就是一个完全的定义的一种题。

  姜老师:对对。

  王老师:但是这个题的难点就在于什么?就是很多同学。

  姜老师:古典概型。

  王老师:对,看到古典概型有点怕是吧,看到古典概型有点怕的话,他有时候分析不清楚,这个题就出问题了。

  姜老师:其实咱们最担心的就是古典概型会直接考吗?极少。

  王老师:极少,不多。

  姜老师:离散型的随机变量对不对,求它的概率分布,一维二维都可以。

  王老师:对对。

  姜老师:就担心这样的题,老头正好就从这个角度就进来了。

  王老师:从这个角度命题的。

  姜老师:对对。

  王老师:所以同学们,有一些同学会出一点问题。

  姜老师:不能大意,哪些要研究透了。

  魏老师:对对,看你这个概率是不是都能算对了。

  姜老师:对对,一定要研究透。

  魏老师:好,那我们填空,线代和概率的填空题呢,应该说问题都不是特别大。咱们最后还是看这边重头戏,就是咱们的解答题,当然咱们今年的话,解答题就只有6个题了。

  姜老师:比去年少。

  魏老师:对,比去年说少了三个,那咱们现在的话,大体的话也是,线代和概率都只有一道,咱们高数的话是有五个题。

  姜老师:有四道。

  魏老师:有四个题,对。那方老师,咱们今年这个数一、数二、数三这一块高数的,这一块的咱们的大题,它相比之前是有什么变化?然后各个大题的基本思路,请方老师也是给我们分析分析。

  方老师:好的,今年高等数学的解答题,我觉得重点突出。

  魏老师:重点突出。

  方老师:但是呢,比较强调计算。

  魏老师:强调计算。

  方老师:对,很多同学呢,可能会在考试的时候感觉这个题会,就是算不出来。我看有很多同学微博上留言也是这样。

  魏老师:对,是。

  方老师:那么我们看数一呢第十七题,那么这个就是带这种变限积分的,这种极限的计算。实际上整个来说是比较基础的。那么很多同学呢,可能做的时候呢,会犯糊涂,那么这里用洛必达或者泰勒展开两种思路都可以,就是带积分,积分是一种运算,其实跟泰勒展开是相互独立的。

  魏老师:对。

  方老师:我们可以是先展开再积分,那么很多同学,可能对这个积数的判断不是那么准,那么这一道题就是如果用洛必达的话,那么需要有相当的计算量,大家小心。当然有同学说,这个题我可以把它拆成两个极限来算。这个有时候考试的时候,可能会想不到,所以这一道题呢,如果硬算的话,也是有比较大的计算量的。

  魏老师:对。

  方老师:但是如果采用这个泰勒展开,算的计算量会低一些,那么十八题呢,这个级数的收敛域和函数也是非常非常的规矩,非常规矩的一道题,那么收敛域呢,就是前后要取交集,第一个积数、第二个积数对吧,取交集。那么前后合段化(音24:50)呢,第一个是一个等比级数,比较规矩的。那么第一下呢是一个等比数列,相当于等比数列。

  魏老师:对。

  方老师:那么等比级数很简单。那么第二部分呢,就是要把它拆开。

  魏老师:对。

  方老师:拆成以前我们强化班反复讲的这种级数分解的概念。

  魏老师:对。

  方老师:拆成比较常规的论(音25:10)的这种展开式来计算。但是呢,千万千万要记住和函数的端点是要重视的。

  魏老师:对对对。

  方老师:我们这个端点。

  魏老师:要单独带上。

  方老师:在你判断收敛域的时候,要看端点收敛还是发散。

  魏老师:对。

  方老师:在最后求和的时候,要把端点考虑进来。那么这里有可能要求极限。

  魏老师:没错。

  方老师:所以这个题呢,我觉得虽然比较常规,但是也并不简单。

  魏老师:对,是。

  方老师:这个计算量还是比较到的。

  魏老师:有计算量。

  方老师:那么这个19题呢,我印象中大概应该是2008年。

  魏老师:对,应该是2008年,对。

  方老师:差不多就是一道原题,曲线上的点到坐标P那最大距离,这个就是用拉格朗日乘数法去算。

  魏老师:对对。

  方老师:但是计算也比较容易出错,因为带两个条件,有(25:51)的时候,很多同学都反应不过来了,所以这里也是考计算。那么20题呢,这个二重积分,这一道题第一步略微有点难,说这个积分取最大值的区域,这个题其实就是考积分的比较定理,那么很多同学这一步有可能会反应不过来,那么总体来说,如果一个函数取正的时候,它的区域到积分制在扩大的。

  魏老师:对。

  方老师:那么一旦函数开始取负了,那么区域扩大,积分在缩小,因为你加的是小于0的。

  魏老师:对。

  方老师:就跟你锻炼一样,你在状态好的时候,你越跑,你是越健康的对吧,当你过了一定的临界点,你已经疲惫了,那你再跑,有可能你的健康情况在下降了。所以这是一个临界的这个问题。那么把这一个想明白了,这个题就不难了。那么当然这个第二问也是特别巧,跟我们2020年的差不多就是原题,这个曲线积分去挖一个点,打一个圈,打洞的这种方法把它做出来,所以数一的这几道题,重点非常突出,比如说极限的计算、泰勒展开、级数求和、拉格朗日乘数法还有二重积分,还有曲线积分。

  魏老师:非常地重视计算。

  方老师:整个来说传统重点。

  姜老师:对,真是传统重点。

  方老师:但是实际上计算量还比较到,做的时候你看第一问第一题,如果你洛必达,可能会落得比较复杂,第二题呢,有可能在和函数的时候,把端点给漏掉了,第三个拉格朗日的时候,对…的分析也有可能犯错误。

  魏老师:对。

  方老师:那么第四道题呢,就有可能反应不过来,就是这个二重积分的比较定理。

  魏老师:对对。

  方老师:所以说这几道题也是需要大家计算要特别地熟练,而且考试的时候状态需要比较好。这个还是比较重视计算。那么数学二呢,高等数学有五道解答题。

  魏老师:对。

  方老师:第17题就是跟刚才一样,就是这种极限的计算泰勒展开了。那么18题,凸凹区间及鉴定线,实际上今年考纲专门提到了函数作图,实际上就是函数作图的一个体现。函数作图就是要去计算单调性、极致点还有凸凹区间,还有鉴定线。所以这一道题就是在解答题里面考的这个凸凹区间及鉴定线,那么还是比较重视基本概念、基本原理的,实际上这一道题虽然是12分,但既考了凸凹区间,又考了鉴定线,而鉴定线你还是去分这个水平的、斜的,还是去对它进行排除。所以这个其实运算量也比较到。那么19题呢,也是非常传统的一道题,这个弧长的计算,还有旋转面的侧面。那么侧面我们以前也是重点讲的这是数二的特色内容。

  魏老师:对。

  方老师:由周长去乘弧微分进行积分得到的,这个也是比较重要的。20题是一个微分方程的求解,第二个就是考法线的这个概念,这也是比较常规的一道题,但这个题计算也有可能会出错,因为很多同学对节距的概念还不太理解,我以前讲这类的题,有好多同学非要说节距是绝对值,实际上不是的,节距就是跟这个Y轴的交点,它的纵坐标,所以它可以正也可以负。所以这个就考了对它的概念。

  魏老师:交点,对,对对。

  方老师:那么21题呢,这个题略微新一点,这个题实际上是哪一年?九几年,1988年。

  魏老师:1988年。

  方老师:很遥远啊,一道选择题改编过的。这个题就是运用极坐标,因为你图不会画嘛,那只能采用极坐标对吧。

  魏老师:对。

  方老师:那么用极坐标的时候,就要记住R是要非负的,所以把这个画出来,再利用对称性再计算。所以这个题略微新颖一点。

  王老师:具体就不用对称性了,因为他直接告诉你大于等于0。

  方老师:对,大于或等于0。

  王老师:不给这个范围,他就应该考虑了,给了他就不需要考虑了。

  方老师:如果没给这个范围的话就要考虑,对,这个题给了第一象限,然后运用极坐标就能把它做出来,略有新意,好。那第三个数三呢,数三的话,我比较意外的是今年没有考经济学,这个亮点没有考。第十七题是非常非常简单一个左右极限的题,我们知道一个极限,带绝对值的时候,是需要看左极限、右极限的。这个比刚才实际上泰勒展开这个题还要简单。那么十八题就是一个无条件的机理,也是非常基础的,两个偏导为0,然后去计算AC减B方。那么十九题就是一个比较常规的二重积分。那么这种积分我们也是平时练的非常多。但是实际上这个题,因为有E的X+Y的平方,所以这个计算的时候还要注意一下,这个计算也有可能出错。

  那么20题呢,这个题就是跟大概是2007年这个题很像,给了我们这个微分方程的解,然后去计算这个收敛域和和函数,整个来说跟刚才的概念是一样的,但是当它融合了微分方程的时候,很多同学就容易做错,所以它糅合了两个概念,一个是微方程,一个是和函数。所以我觉得数三的题呢,前两道题非常非常地规矩,有非常地简单,那么后边两道题就是要重视计算,很多同学容易眼高手低,表面上看好像这个题我都会,但算的过程一些细节把握不好,也得不了分。

  魏老师:对对。

  方老师:所以我觉得今年呢,这个几道解答题呢,整个来说就是重点非常突出,没有这个偏题、怪题,但是也是非常重视计算的。

  魏老师:对。

  方老师:数学最终还是用计算的结果来表示的。

  姜老师:计算量还是比较大的。

  方老师:对,OK。

  魏老师:对。好,这是咱们高等数学。那姜老师您看看,咱们线性代数这一块,线性代数刚才咱们前面方老师也说了,咱们计算量已经比较大了,那咱们到现在这边,做到线代这里。

  姜老师:它今年比去年、前年计算量少太多了。

  魏老师:少了很多。

  姜老师:少太多了,一共是各一道大题,数一的呢,刚才前面提到了,这个线性代数整体来说,它只有一点就是数一的,数一的第21题是吧,数一的21题,就是正定矩阵的分解,另外前面咱们再把特征支撑的向量,包括单位化,就是正定矩阵都得求出来,这个地方可以用特征方程化,也可以用咱们的质V1,尤其分解为质V1,这是咱们强化层次给大家重点讲的,也算是咱们团队老师独家的秘籍了对不对?

  魏老师:对对对。

  姜老师:基本上应该没有外面有讲到的,这个确实能快。

  魏老师:对。

  姜老师:然后另外就是正定矩阵分解,就是一个正定矩阵,任何一个正定矩阵都可以分解成其他正定矩阵的高次密的是,这是咱们冲刺班。咱们U50那个班重点讲的。今年很欣慰的就是线性代数就一道新型的题,数一考的。

  魏老师:对。

  姜老师:更欣慰的就是咱们这道题冲刺班正好讲上去了,是真心讲上去的,在150的线性代数的第24道大题,真的是把正定矩阵的分解给讲了。

  魏老师:讲上了,讲到了。

  姜老师:所以见了这个题,当时很兴奋,就觉得起码线性代数今年大家无忧了。那么数二的和数三的呢?数二的第22题和数三的第21题是共同的题,比较传统的相似对角化,这是超级劲旅的,就是说传统的极其重要的重点了是不是。

  魏老师:对对。

  姜老师:相似对角化极其传统的重点,那么有两个参数,那就是通过特征值,通过相似对角化的充分条件、充二条件来判定小A、小B,一旦小A、小B有了以后,特征值、特征向量都有了,那么相似对角化什么都有了对吧,比较传统的重点,计算量也没有往年那么大,所以这个题,整个这个线性代数到这收个尾就和前后呼应一下,就是数一的一道新颖的题,其他都是很传统的,所以现在考研,大家把经常基础强化冲刺,包括你做的真题,包括你做过的一些模拟卷掌握好了,现在考研基本上就够你用了,就看今年数二、数三的线性代数是足够你用了,没有一道超出去了。所以额外再适量做点难题,听点难题,就是正定的分解,这不正好今年考上去了,数二、数三都没有考这么难的对不对,就这个样子。

  魏老师:这是我们线代,看来咱们今年线代的同学应该是比较好,比较幸福。

  姜老师:比较幸福,尤其数二、数三的同学。

  王老师:尤其数二的同学很幸福。

  魏老师:对,咱们到概率这一块,概率这一道题,这两道题都是一样的,一样的,就是咱们说一道题,这一道题其实考的还是比较不错,比较有难度。

  王老师:比较难的。整个这个,我觉得像概率这个题,对,就是数一数二的,有个难题的。

  姜老师:数得上的是吧,数一数二的,对对对。

  王老师:我觉得它可能尝试正好在压轴的这个题上了。

  姜老师:对对对。

  王老师:这一题的难度,对有一些同学来说,它不太好看是吧,X他是要随机地去取嘛。

  魏老师:对。

  王老师:他应该实际上就是说服01上的这种均匀分布。这一点是很多同学没有想到的。

  魏老师:对,不太好想。

  王老师:不太好想。但你只要想到这一步之后,实际上第二步和第三步相对来说呢,还是好做一点的。那第二步呢,求Z的概率密度呢,当然我们就从定义法去做,先求Z的分布函数。

  魏老师:对。

  王老师:求出分布函数来之后,再去求Z的密度,这个事就搞定了。

  魏老师:是,把那个Y给带进去。

  王老师:Y等于这个2-X吧,把这个关系给它带进去。

  魏老师:对对。

  王老师:这是一维的函数的分布,这也是咱们常规的重点。

  姜老师:对对对。分布函数方面。

  王老师:分布函数,这是常规的重点内容。

  魏老师:对对对。

  王老师:所以这个事是比较重要、有思想。第三个呢,当然正好呢,大家一定记住考那种多问的题,前面两问都是为后面来服务的这个思想。

  魏老师:是。

  王老师:实际上这个题你看,第一问是第二问服务的,第二问是第三问服务的,如果直接给大家出这个第三问,大家就疯掉了。

  姜老师:对对对。

  王老师:但是你看第三问他是求这个X与Y的期望,X与Y恰好是1/Z。而第二问我们求出了Z的密度。

  魏老师:求出密度了,对。

  王老师:我们求出了Z的密度,相当于区别了函数的期望了。

  魏老师:对。

  王老师:然后用函数的期望去求,这个题就直接搞定了。

  魏老师:对对,求一个1/Z的期望。

  王老师:对,1/Z的期望。

  姜老师:对对对。

  魏老师:1/Z和那个概率一乘。

  王老师:一乘就OK了。

  姜老师:王老师,你看这个第二问求Z的概率密度这个地方。你看Z等于Y/X,这个Y是等于2-X对吧。

  王老师:2-X。

  姜老师:这是约等于2/X减去个1嘛。

  魏老师:对。

  姜老师:这个X是一个单调递减的函数。所以单调函数的话,咱们公式法也可以做。

  王老师:也可以做。

  姜老师:所以这个题一套公式就结束了其实。

  王老师:也可以也可以。

  姜老师:这个题第二问又出来一个很好的方法是吧,就是这样。

  王老师:对,好的思路,对对。

  姜老师:其实当时我们讨论的时候,我们老师比较担心数一、数三,这个同学搞不定,因为X、Y,就怕大家研究不出来是不是。这个题有点小担心。

  王老师:对对对,这个题确实有点小担心的。

  姜老师:对对对。

  王老师:因为他出的题的话,有的同学对这种感觉不太敏感。

  姜老师:对对。

  魏老师:那当然咱们就是,无论大家反正考试今年的话,就是无论怎么样吧,今年也算是大家通过一年的努力。

  姜老师:尽力了是不是。

  魏老师:也尽力了,对对对。

  姜老师:都尽力了。

  海天考研数学名师解析2021考研数学真题:22考研建议

  魏老师:是。那不知道各位老师,通过今年咱们的这个考试题,更多的可能咱们向2022年的,包括后面2023年,未来这一两年,有什么启发的意义是不是。

  姜老师:对对对。

  魏老师:就是您看方老师,咱们通过今年的这个高数,高数咱们这个考到的这个重难点,比如说没有考到的这个地方是吧,还有包括就是,他这个大纲改了之后的这个趋势上面,方老师您有什么对这个,比如咱们后面这个2022年的同学、2023年的同学要说的话。

  方老师:好。这个第一个,我觉得今年这个大纲改革之后,实际上大家发现更加地偏重这个基础了,更基础了。像以前的那种很难的题,现在少了,明显地少了,所以第一个大家还是要重视基础,千万不要眼高手低。很多同学数学一复习,上来就冲数学竞赛题,这个方向是不对的。

  魏老师:对。

  方老师:你像今年这个选择填空,人家泰勒展开、全微分,还有定积分的定义,都是非常非常基础的。这个分数还不少呢,这一下子几十分。所以第一个就是一定要重视基础。第二个就是真题一定要重视,你像我们刚才。

  姜老师:有好几道了。

  方老师:包括在线性代数里面也是对吧,高等数学里面,2008年这个几乎就是原题。

  姜老师:1988年的一个双井线那个是不是。

  魏老师:大概就有5道题。

  姜老师:对对对。

  方老师:对,包括刚才极数这个题,差不多也是个原题。

  魏老师:对。

  方老师:所以说非常地重视真题,不要有这种曾经沧海难为水的感觉,过往的我们也要珍惜。

  魏老师:是。

  方老师:第三个还是要练计算,这个我看今天微博上很多同学说,老师我这个题目都读懂了,我就是做不出结果,所以做不出答案,这个最后还是不行的,所以大家还是要,我觉得要猛练计算,那么总体来说,我觉得还是四个字吧,觉得还是回归基础。

  魏老师:回归基础。

  方老师:所以这个2020年呢,可能这个题目略微难一些,那么实际上大家担心的这种比较难的高难度的这种题,现在很少了。整个来说还是中规中矩的。所以我相信就是稳抓基础。第二个,跟着我们这个课程走下来,第三个加强真题的练习,数学考一个比较好的成绩还是不是那么难的。

  魏老师:对对。

  方老师:好,OK,这是高等数学部分。

  魏老师:这是咱们高等数学,那也是,咱们看看姜老师,咱们的这个线性代数啊。

  姜老师:行,我就说一下吧,给咱们2021年的同学去简单地说就是咱们都尽力了,真是尽力以后的顺其自然,那就真的就顺其自然了是不是。

  魏老师:对对对。

  姜老师:如果不尽力的话,因为咱们现在这帮小孩吧,这帮人接近00后了,比较佛系了对不对,不过考研的同学,我觉得没那么佛系,大家都挺尽力的是吧?

  魏老师:对对。

  姜老师:所以都尽力了就好了,然后先好好放松几便,期待有好的结果,那么二的同学,刚才方老师也提到了,和王老师也交流这个事了。就是现在好像今年的题目没有这么难了,起码比去年感觉。

  王老师:简单多了。

  姜老师:其实我们交流起来就感觉担心的题已经非常少了,真心说,担心的题比较少了是吧。

  魏老师:对。

  姜老师:所以整体来说,中等偏简单的题还是会多一些。所以好好听课、好好做题,基础班、强化班、冲刺班、真题班、模考班,足够你用了对不对,这些题都太多了,足够你用了,所以好好听课,踏踏实实地跟着做题就可以了,就这样。

  魏老师:来,王老师,您来谈一谈咱们概率吧。

  王老师:概率的这个东西呢,它往往就是说,大家往往是最后来复习的嘛。

  魏老师:对对。

  王老师:往往就是说,他的这种冲劲,那些劲啊,往往都用得差不多了。

  魏老师:对。

  王老师:很多同学他学概率的时候,不像学高数、线代有那么大的劲头。

  魏老师:对对。

  王老师:实际上你该怎么学,还要怎么学,而且这个东西,它往往是你在高等数学学懂的基础上才能学好概率对吧。

  魏老师:对。

  王老师:高数都没学得特别明白的时候,概率往往有一些题,你真的是做不来的。

  姜老师:到了一维和二维就没法做了。

  王老师:到了一维和二维的时候真是做不来。

  姜老师:对对对。

  王老师:但是你说你高数先学好了,但是精神不能放松是吧,抓住基础,抓住一些最基本的概念,还是应该概率也没有什么特别大的问题,就是说很多同学为什么没学好。他好像说,我从中学,我就是学文科的是吧。

  姜老师:对,我就抵触。

  王老师:然后我就不想做,我就不想看是吧。

  姜老师:对对对。

  王老师:有很多同学是这样的一个特点。咱们就是说你放弃这个概念,因为咱们毕竟是研究大学里面的数学了,它跟中学那个时候没有什么特别大的关系,该怎么学怎么学,不要抵触,这是我对一些尤其是以前高中学文科的同学的一个建议吧。大家把这个概率也要学好,不能瘸一个腿啊。

  姜老师:不可大意,不能大意。

  方老师:大意失荆州啊。

  姜老师:对对对。

  魏老师:是啊。咱们这个无论如何吧,反正今年也是非常希望大家能有一个咱们比较满意的成绩是吧,因为今年毕竟是咱们这个,应该说还是不少题型还是比较传统,比较回归传统的。

  王老师:对对,80%吧。

  魏老师:80%啊。也不知道咱们同学这个。那就是咱们三位老师,最后咱们再谈谈吧,就是关于今年比如说没有考到的考点,大家可能会需要重点复习的有哪一些。

  姜老师:这个实在是不大好答,因为数学的这些,现在不敢说不重要。

  王老师:都重要,刚才就强调全面全面。你看今年就考了第二类错误的概率,这就叫全面。

  姜老师:经常考,双纽线,这都经常考对不对。

  魏老师:全是,对。

  姜老师:不敢大意。

  王老师:还是要全面。

  魏老师:不能瘸腿。

  王老师:大纲有的,都要看。

  姜老师:古典概型王老师都有要求,刚才都提示特别的要求了是不是,所以说还是要完成对不对,还是要完成,一点不敢大意。

  魏老师:行,好,那行,了解了解。那也是听了三位老师对今天的真题解析。我就一下对这个真题确实是豁然开朗。各种思路其实怎么说呢,其实还都是常规的问题,还都是常规的问题。

  姜老师:常规的多。

  魏老师:常规的问题有一些变化,对,好的,咱们今天就到这里好吧。

  方老师:好,祝大家考试成功。

  姜老师:好,考试成功,加油。

  魏老师:好的。


  相关推荐:

  海天考研数学名师解析2021考研数学真题(视频版)

  2021考研数学(一,二,三)真题原文汇总


  2024考研人数已公布,达438w,考研热度依旧火热!如何备战2025考研?哪个考研专业适合自己?在职考生如何备考?考研知识点繁多,择校困难大,和海天考研咨询老师聊一聊。网课面授多项选,专业辅导1对1全年集训随时学!

中间广告图.jpg

活动专题